Question

17．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=log₂x，g（x）=2log₂（2x+a），a∈R
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對任意x∈[1，4]，f（4x）≤g（x），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設a＞-2，求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）在（-∞，0）上的解析式，再結(jié)合f（0）=0得出f（x）在定義域上的解析式；
（2）分離參數(shù)可得a≥2$\sqrt{x}$-2x，利用換元法求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出a的范圍；
（3）討論a的范圍，判斷h（x）的單調(diào)性，從而可得h（x）的最小值．

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=log₂（-x），
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-log₂（-x），
又f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{2}（-x），x＜0}\end{array}\right.$．
（2）由f（4x）≤g（x）得log₂（4x）≤2log₂（2x+a），
∴（2x+a）²≥4x，
∵2x+a＞0，x＞0，
即2x+a≥2$\sqrt{x}$，∴a≥2$\sqrt{x}$-2x，
設$\sqrt{x}$=t，則t∈[1，2]，令p（t）=2t-2t²，
則p（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴-4≤p（t）≤0．
∴a≥0．
（3）h（x）=g（x）-f（x）=2log₂（2x+a）-log₂x=log₂$\frac{（2x+a）^{2}}{x}$，
令q（x）=$\frac{（2x+a）^{2}}{x}$=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$+4a，
令q′（x）=0得x=$\frac{|a|}{2}$，
①若$\frac{|a|}{2}$≤1即-2＜a≤2時，q（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴q（x）的最小值為q（1）=a²+4a+4=（a+2）²，
∴h（x）的最小值為log₂（a+2）²=2log₂（a+2）；
②若$\frac{|a|}{2}$≥2即a≥4時，q（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴q（x）的最小值為q（2）=8+$\frac{{a}^{2}}{2}$+4a=$\frac{1}{2}$（a+4）²，
∴h（x）的最小值為log₂[$\frac{1}{2}$（a+4）²]=-1+2log₂（a+4）；
③若1＜$\frac{|a|}{2}$＜2即2＜a＜4時，q（x）在[1，2]上先減后增，
∴q（x）的最小值為q（$\frac{a}{2}$）=8a，
∴h（x）的最小值為log₂（8a）=3+log₂a．
綜上：當-2＜a≤2時，h（x）的最小值為2log₂（a+2）；
當2＜a＜4時，h（x）的最小值為3+log₂a；
當a≥4時，h（x）的最小值為-1+2log₂（a+4）．

點評 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)最值的計算，考查分類討論思想，屬于中檔題．