Question

3．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，$BC=\sqrt{5}$，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，證明ABPF為平行四邊形，可得AF∥BP，利用線面平行的判定，可以證明AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求出直角梯形ABED的面積和C到平面ABDE的距離，則多面體ABCDE的體積可求．

解答 （Ⅰ）證明：取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴FP∥DE，且FP=$\frac{1}{2}$DE．
又AB∥DE，且AB=$\frac{1}{2}$DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（II）解：∵直角梯形ABED的面積為$\frac{1+2}{2}×2$=3，C到平面ABDE的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
∴四棱錐C-ABDE的體積為$V=\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
即多面體ABCDE的體積為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行，考查幾何體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．