Question

已知球O的半徑為R，圓柱內接于球，當內接圓柱的體積最大時，高等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設球內接圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r，得圓柱體積V關于h的函數(shù)表達式：V（h）=πR²h-πh³（0＜h＜2R）．利用求導數(shù)的方法，討論函數(shù)V（h）的單調性，可得當h=時，V（h）取得最大值，得到本題的答案．
解答：解：設球內接圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r
則h²+（2r）²=（2R）²，得r²=R²-h²．（0＜h＜2R）
∴圓柱的體積為V（h）=πr²h=πh（R²-h²）=πR²h-πh³．（0＜h＜2R）
求導數(shù)，得V'（h）=πR²-πh²=π（R+）（R-）
∴0＜h＜時，V'（h）＞0；＜h＜2R時，V'（h）＜0
由此可得：V（h）在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)；在區(qū)間（，2R）上是減函數(shù)
∴當h=時，V（h）取得最大值．
故選：A
點評：本題主要考查了球和圓柱的有關知識以及函數(shù)建模以及用導數(shù)這一工具求最值的方法，屬于中檔題．解題過程體現(xiàn)了高考考背景、考應用的導向．