Question

15．已知z是復(fù)數(shù)，且z+i，$\frac{2z}{1+i}$均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位）．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若|z+ai|=$\sqrt{5}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)z=x+yi，x、y∈R，可得z+i=x+（y+1）i，x、y∈R；$\frac{2z}{1+i}=\frac{{2（{x+yi}）}}{1+i}=x+y+（{y-x}）i$，根據(jù)$z+i，\frac{2z}{1+i}$均為實(shí)數(shù)，可得$\left\{{\begin{array}{l}{y+1=0}\\{y-x=0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（II）|z+ai|=$\sqrt{5}$，即|1+（a-1）i|=$\sqrt{5}$，利用模的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)z=x+yi，x、y∈R…（1分）
則z+i=x+（y+1）i，x、y∈R；
$\frac{2z}{1+i}=\frac{{2（{x+yi}）}}{1+i}=x+y+（{y-x}）i$…（3分）
∵$z+i，\frac{2z}{1+i}$均為實(shí)數(shù)，∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+1=0}\\{y-x=0}\end{array}}\right.$，
∴x=y=-1…（4分）
∴z=-1-i，…（5分）
（II）∵|z+ai|=$\sqrt{5}$，即|1+（a-1）i|=$\sqrt{5}$，（6分）
∴（-1）²+（a-1）²=5…（8分）
∴a=3或a=-1…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了方程思想，屬于中檔題．