Question

12．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-y≥1}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，求ab的值與z的最大值．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最小值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求ab的值與z的最大值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，
∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最小，此時(shí)z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，
即2a+3b=2，∴2=2a+3b$≥2\sqrt{6ab}$，
即ab≤$\frac{1}{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=1，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)．
故ab的最大值為$\frac{1}{6}$，z無最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．