Question

17．在等比數(shù)列{a_n}前n項和S_n=5ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　�。�

• A． （5ⁿ-1）²
• B． 5²ⁿ-1
• C． $\frac{2}{3}$（5²ⁿ⁺¹+1）
• D． $\frac{2}{3}$（5²ⁿ-1）

Answer 1

分析 列舉等比數(shù)列的前n項和的各項，求出首項和公比即可求出數(shù)列的通項公式，然后得到a_n²的通項公式發(fā)現(xiàn)也為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的公式求出即可．

解答 解：令n=1，得到a₁=S₁=5¹-1=4；
令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5²-1=24，得到a₂=20，
則公比q=$\frac{20}{4}=5$，
則等比數(shù)列的首項為4，公比為5，
得到a_n=4×5^n-1；
則a_n²=16×5^2n-2=16×25^n-1，是首項為16，公比為25的等比數(shù)列，
所以a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{16（1-2{5}^{n}）}{1-25}$=$\frac{2}{3}$（5²ⁿ-1），
故選：D

點評 本題主要考查數(shù)列求和，根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式以及利用等比數(shù)列的前n項和公式是解決本題的關鍵．