Question

14．已知$\overrightarrow m=（2cosx，1）$，$\overrightarrow n=（cosx，sin2x+a）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[0，\frac{3π}{8}]$時(shí)，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，且在此范圍內(nèi)，關(guān)于x的方程f（x）=k恰有2個(gè)解，確定a的值，并求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式，輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再求最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)自變量的范圍得出函數(shù)的最值，求出a，再結(jié)合函數(shù)圖象求k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+1，
該函數(shù)的最小正周期為：π，
令2x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]；
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{3π}{8}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
此時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
所以，f（x）_max=$\sqrt{2}$+a+1=$\sqrt{2}$，解得a=-1，
因此，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
要使f（x）=k在x∈[0，$\frac{3π}{8}$]內(nèi)恰有兩解，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象知，k∈[f（0），f（$\frac{π}{8}$）），即k∈[1，$\sqrt{2}$），
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的數(shù)量積，三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及運(yùn)用函數(shù)圖象解決根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題．