Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的x值；

Answer 1

【答案】（1）;[，]，k∈Z；（2）詳見解析

【解析】

（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡f(x)解析式，由正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得函數(shù)周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）最大值和最小值及相應(yīng)的x值．

（1）∵f（x）=4sin3xcosx-2sinxcosx-cos4x

=sin2x×（1-cos2x）-sin2x-cos4x

=-sin4x-cos4x

=-sin（4x+），

∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=．

∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z；

（2）∵x∈[0，]，

∴4x+，

∴sin（4x+）∈[-，1]，

∴f（x）=-sin（4x+）∈[-，]，

可得當(dāng)x=時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，]上的最大值為，

當(dāng)x=時(shí)，取得最小值為．