已知丨z丨=1，λ∈C，求證：丨
z-λ
λz-1
丨=1．
考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模
專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
分析：丨z丨=1，λ∈C，可得z
.
z
=1．于是
z-λ
λz-1
•
.
(
z-λ
λz-1
)
=
1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)
1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)
，可得λ
.
z
+
.
λ
z與(λz+
.
λ
.
z
)互為共軛復(fù)數(shù)，而1+λ
.
λ
為實(shí)數(shù)，得到分子1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)與分母1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)互為共軛復(fù)數(shù)，即可證明．
解答： 證明：∵丨z丨=1，λ∈C，
∴z
.
z
=1．
∵
z-λ
λz-1
•
.
(
z-λ
λz-1
)
=
z-λ
λz-1
•
.
z
-
.
λ
.
λ
.
z
-1
=
1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)
1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)
，
∵λ
.
z
+
.
λ
z+(λz+
.
λ
.
z
)=(λ+
.
λ
)(z+
.
z
)為實(shí)數(shù)，
∴λ
.
z
+
.
λ
z與(λz+
.
λ
.
z
)互為共軛復(fù)數(shù)，
而1+λ
.
λ
為實(shí)數(shù)，
因此分子1+λ
.
λ
-(λ
.
z
+
.
λ
z)與分母1+λ
.
λ
-(λz+
.
λ
.
z
)互為共軛復(fù)數(shù)，
∴丨
z-λ
λz-1
丨=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了化為共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
n2
n2+1
．
（1）0.98是否為它的項(xiàng)？
（2）判斷此數(shù)列的增減性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂角D1在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)C．
（1）求證：AD1⊥BC；
（2）在AB上是否存在點(diǎn)M，使得C1M∥平面ADD1A1？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x∈（1，+∞），在函數(shù)f（x）=
x
lnx
的圖象上，過點(diǎn)P（x，f（x））的切線在y軸上的截距為b，則b的最小值為（　　）
A、e
B、
e
2
C、
e2
2
D、
e2
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

sinα+sin（α+
2π
3
）+sin（α+
4π
3
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)
1+ai
2+i
（i為虛數(shù)単位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a的值為（　　）
A、2
B、-2
C、-
1
2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（　�。�
A、y=sinx
B、y=tanx
C、y=cosx
D、y=cos（x-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

三角形ABC的邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且
AP
=λ
AB
+μ
AC
，若θ≤λ≤μ≤1，則動(dòng)點(diǎn)P所在平面區(qū)域的面積是（　�。�
A、
3
B、2
3
C、2+
3
D、1+
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，a+bi=
3+i
1-i
，則a+b等于（　�。�
A、-1B、1C、3D、4

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