Question

某旅游景點預計2013年1月份起前x個月的旅游人數的和p（x）（單位：萬人）與x的關系近似地滿足p（x）=

1

2

x（x+1）．（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．已知第x月的人均消費額q（x）（單位：元）與x的近似關系是
q（x）=

35-2x(x∈N*，且1≤x≤6) 160 x (x∈N*，且7≤x≤12)

（Ⅰ）寫出2013年第x月的旅游人數f（x）（單位：人）與x的函數關系式；
（Ⅱ）試問2013年第幾月旅游消費總額最大，最大月旅游消費總額為多少元？

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據所給的前x個月旅游人數的和，可以得到第x個月的旅游人數，注意驗證第一個月的旅游人數符合表示式．
（Ⅱ）根據所給的表示式，寫出第x月旅游消費總額，是一個分段函數，求出分段函數的最大值，把兩個最大值進行比較，得到最大月旅游消費總額．

解答： 解：（Ⅰ）當x=1時，f（1）=p（1）=37，
當2≤x≤12，且x∈N^*時，
f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（39-2x）-

1

2

（x-1）x（41-2x）=-3x²+40x．…（5分）
驗證x=1符合f（x）=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12）…（6分）
（Ⅱ）第x月旅游消費總額為g（x）=

(-3x2+40x)(35-2x)(1≤x≤6) (-3x2+40x)• 160 x (7≤x≤12)

（x∈N^*）       …（8分）
當1≤x≤6，且x∈N^*時，g′（x）=18x²-370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．
∴當1≤x＜5時，g′（x）＞0，當5＜x≤6時，g′（x）＜0，
∴當x=5時，g（x）_max=g（5）=3125（萬元）．…（10分）
當7≤x≤12，且x∈N^*時，g（x）=-480x+6400是減函數，∴當x=7時，g（x）_max=g（7）=3040（萬元），
綜上，2013年第5月份的旅游消費總額最大，最大月旅游消費總額為3125萬元．…（12分）

點評：本題考查函數模型的選擇和導數的應用，本題解題的關鍵是寫出分段函數，要分別求出兩段函數的最大值，進行比較．