Question

2．設F是拋物線C：y²=4x的焦點，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，當|AB|=8時，以AB為直徑的圓與y軸相交所得弦長是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點F，設出直線AB的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，再由弦長公式求得斜率，再由圓的弦長公式，可得所求值．

解答 解：y²=4x的焦點F（1，0），設直線AB：y=k（x-1），
代入拋物線的方程可得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，即有中點的橫坐標為1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
由拋物線的弦長公式可得，|AB|=x₁+x₂+p=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=8，
解得k=±1，
即有r=4，d=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$=3，
再由圓的弦長公式可得，
與y軸相交所得弦長是2$\sqrt{{r}^{2}-4ow5ghu^{2}}$=2$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要是弦長公式的運用，同時考查圓的弦長公式，屬于中檔題．