Question

15．如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D，使BC=CD，過點C作圓O的切線交AD于E．
（Ⅰ）求證：CE⊥AD；
（Ⅱ）若AB=2，ED=$\frac{1}{2}$，求證：△ABD是等邊三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE與⊙O相切于點C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴CE⊥AD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴△CED∽△ACB．
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，又CD=BC，
∴BC=$\sqrt{AB•DE}$=1，
∴BD=2BC=2，
∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形．

點評 本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，需要較強的推理能力．