Question

12．如圖，已知PA垂直圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，AB=2，C是圓O上一點(diǎn)，且PA=AC=BC，E，F(xiàn)分別為PC，PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求證：平面AEF與平面ABC的交線與平面PBC平行；
（Ⅲ）求四棱錐A-BCEF的體積．

Answer 1

分析 （I）由圓的性質(zhì)得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，于是BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC；
（II）由中位線定理得EF∥BC，故EF∥平面ABC，由線面平行的性質(zhì)得出平面AEF與平面ABC的交線與EF平行，故平面AEF與平面ABC的交線與平面PBC平行；
（III）使用作差法計算體積，V_A-BCEF=V_P-ABC-V_P-AEF．

解答 證明：（I）∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面⊙O，BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC，又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，又∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（II）∵E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，又BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
設(shè)平面AEF∩平面ABC=a，則EF∥a，
又a?平面PBC，EF?平面PBC，
∴a∥平面PBC．
（III）在Rt△ABC中，∵AC=BC，AB=2，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴PA=$\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2，∴PE=AE=$\frac{1}{2}PC$=1，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
V_P-AEF=V_F-PAE=$\frac{1}{3}{S}_{△PAE}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
∴V_A-BCEF=V_P-ABC-V_P-AEF=$\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{12}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，線面平行的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．