Question

20．已知F是雙曲線C：x²-y²=1的右焦點，P是C的左支上一點，點A（0，$\sqrt{2}$），則△APF周長的最小值為6．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的左焦點為F'，求出雙曲線的a，b，c，運用雙曲線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考慮P在左支上運動到與A，F(xiàn)'共線時，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的左焦點為F'，
由雙曲線C：x²-y²=1可得a=1，b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有F（$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)'（-$\sqrt{2}$，0），
△APF周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，
當(dāng)P在左支上運動到A，P，F(xiàn)'共線時，
|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=2，
則有△APF周長的最小值為2+2+2=6．
故答案為：6．

點評 本題考查三角形的周長的最小值，注意運用雙曲線的定義和三點共線時取得最小值，考查運算能力，屬于中檔題．