Question

已知A，B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右頂點，點D(1，

3

2

)在橢圓C上，且直線DA與直線DB的斜率之積為-

b2

4

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P為橢圓C上除長軸端點外的任一點，直線AP，PB與橢圓的右準線分別交于點M，N．
①在x軸上是否存在一個定點E，使得EM⊥EN？若存在，求點E的坐標；若不存在，說明理由；
②已知常數λ＞0，求

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用直線DA與直線DB的斜率之積為-

b2

4

，可得b2=

9

a2-1

，由點D(1，

3

2

)在橢圓C上，則有：

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，聯(lián)立求出a，b，即可求橢圓C的標準方程；
（2）①假設存在一個定點E（m，0），使得EM⊥EN．確定M，N的坐標，若EM⊥EN，則

EM

•

EN

=0，結合點P在橢圓C上，即可求點E的坐標；
②利用向量的數量積公式，可得

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

，設函數f(x0)=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

，定義域為（-2，2），確定函數的單調性，即可求得結論．

解答： 解：（1）由題意得，A（-a，0），B（a，0），
∵直線DA與直線DB的斜率之積為-

b2

4

，
∴kDA•kDB=

3 2

1+a

•

3 2

1-a

=-

b2

4

，∴b2=

9

a2-1

，
由點D(1，

3

2

)在橢圓C上，則有：

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，…（2分）
由以上兩式可解得a²=4，b²=3．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．      …（4分）
（2）①橢圓右準線的方程為x=4．                            …（5分）
假設存在一個定點E（m，0），使得EM⊥EN．
設點P（x₀，y₀）（x₀≠±2），直線AP的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，
令x=4，y=

6y0

x0+2

，∴點M坐標為(4，

6y0

x0+2

)．
直線BP的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，令x=4，y=

2y0

x0-2

，
∴點N坐標為(4，

2y0

x0-2

)．                                    …（7分）
若EM⊥EN，則

EM

•

EN

=0，
∵

EM

=(4-m，

6y0

x0+2

)，

EN

=(4-m，

2y0

x0-2

)，
∴

EM

•

EN

=(4-m)2+

6y0

x0+2

•

2y0

x0-2

=(4-m)2+

12y02

x02-4

=0．        …（9分）
∵點P在橢圓C上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，∴y02=3(1-

x02

4

)，代入上式，得（4-m）²=9，
∴m=1或m=7，∴點E的坐標為（1，0）或（7，0）．                  …（11分）
②∵

PM

=(4-x0，

y0(4-x0)

x0+2

)，

PN

=(4-x0，

y0(4-x0)

x0-2

)，
∴

PM

•

PN

=(4-x0)2+

y02(4-x 0)2

x02-4

=

(4-x 0)2

4

．
∵

PA

=(-2-x0，-y0)，

PB

=(2-x0，-y0)，
∴

PA

•

PB

=x02-4+y02=

x 02-4

4

．
∴

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

．              …（13分）
設函數f(x0)=

(1+λ)x02-8x0+16-4λ

4

，定義域為（-2，2），
當

4

1+λ

≥2時，即0＜λ≤1時，f（x₀）在（-2，2）上單調遞減，f（x₀）的取值范圍為（1，9），
當

4

1+λ

＜2時，即λ＞1時，f（x₀）在(-2，

4

1+λ

)上單調遞減，在(

4

1+λ

，2)上單調遞增，f（x₀）的取值范圍為[

-λ2+3λ

1+λ

，9)．
綜上，當0＜λ≤1時，

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

的取值范圍為（1，9），
當λ＞1時，

PM

•

PN

+λ

PA

•

PB

的取值范圍為[

-λ2+3λ

1+λ

，9)．        …（16分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查向量知識的運用，考查函數思想，考查學生分析解決問題的能力，有難度．