Question

12．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，P、Q分別是棱BC與B₁C₁的中點．
（1）求異面直線D₁P和A₁Q所成角的大�。�
（2）求以A₁、D₁、P、Q四點為四個頂點的四面體的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA，DC，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線D₁P和A₁Q所成角．
（2）以A₁、D₁、P、Q四點為四個頂點的四面體的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}Q}×PQ$．

解答 解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則D₁（0，0，4），P（2，4，0），A₁（4，0，4），Q（2，4，4），
$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（2，4，-4），$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（-2，4，0），
設(shè)異面直線D₁P和A₁Q所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}P}•\overrightarrow{{A}_{1}Q}|}{|\overrightarrow{{D}_{1}P}|•|\overrightarrow{{A}_{1}Q}|}$=$\frac{12}{\sqrt{36}•\sqrt{20}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴θ=arccoa$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線D₁P和A₁Q所成角為arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}Q}$=$\frac{1}{2}×4×4$=8，PQ⊥平面A₁D₁Q，且PQ=4，
∴以A₁、D₁、P、Q四點為四個頂點的四面體的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}Q}×PQ$=$\frac{1}{3}×8×4$=$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查四面體的體積的求法，是中檔題，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想．