【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn),且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí),

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(Ⅱ)若直線,且和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試問直線為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn))是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)拋物線定義可利用構(gòu)造關(guān)于的方程,從而求得拋物線方程;(Ⅱ)設(shè),,根據(jù)可求得,從而得到,假設(shè)方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用可求得,從而利用表示出點(diǎn)坐標(biāo);分別在兩種情況下得到直線方程,從而得到所過定點(diǎn).

(Ⅰ)由題意知:

由拋物線的定義知:,解得:

拋物線的方程為:

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

設(shè)

得:,故 直線的斜率為

直線和直線平行

可設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程得:

由題意知:得:

設(shè),則,

當(dāng)時(shí),

可得直線的方程為:,

,整理可得: 直線恒過點(diǎn)

當(dāng)時(shí),直線的方程為:,過點(diǎn)

直線恒過定點(diǎn)

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