Question

20．若點P在直線AB上，且滿足$\overrightarrow{OP}$=（x-y）$\overrightarrow{OA}$+（sinx+1）$\overrightarrow{OB}$，x∈[-1，1]．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，并判斷f（x）的單調(diào)性和奇偶性；
（2）是否存在實數(shù)m，使不等式f（1-m）+f（m²-1）＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三點共線的性質(zhì)求得y=x+sinx，由此根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷該函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）不等式即f（1-m）＞-f（m²-1）=f（1-m²），再利用單調(diào)性以及定義域求得m的范圍．

解答 解：（1）∵點P在直線AB上，且滿足$\overrightarrow{OP}$=（x-y）$\overrightarrow{OA}$+（sinx+1）$\overrightarrow{OB}$，x∈[-1，1]，
∴x-y+（sinx+1）=1，即y=x+sinx．
由于y=f（x）=x+sinx 的定義域為[-1，1]，關(guān)于原點對稱，
且滿足f（-x）=-x+sin（-x）═-（x+sinx）=-f（x），
故函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
由y′=1+cosx在[-1，1]上大于零或等于零恒成立，故函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．
（2）不等式f（1-m）+f（m²-1）＞0恒成立，即f（1-m）＞-f（m²-1）=f（1-m²），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{-1{≤m}^{2}-1≤1}\\{1-m＞1{-m}^{2}}\end{array}\right.$，求得1＜m≤$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查三點共線的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，解抽象不等式，屬于中檔題．