Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，$\frac{3π}{2}$），若點(diǎn)M落在曲線(xiàn)C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），點(diǎn)N為曲線(xiàn)C₂上動(dòng)點(diǎn)．
（I）求曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)N到曲線(xiàn)C₁的距離為d，求d的最小值并判斷點(diǎn)M與曲線(xiàn)C₂的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（4，$\frac{3π}{2}$）落在曲線(xiàn)C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，先求出a，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)N（cosθ-2，sinθ），求出點(diǎn)N到曲線(xiàn)C₁距離d，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出d的最小值，求出點(diǎn)M直角坐標(biāo)和曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程，由此能判斷點(diǎn)M與圓C₂的位置關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）∵M(jìn)的極坐標(biāo)為（4，$\frac{3π}{2}$），點(diǎn)M落在曲線(xiàn)C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，
∴a=4cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{6}$）=-4sin$\frac{π}{6}$=-2，
∴曲線(xiàn)C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=-2，
∴$\frac{1}{4}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{4}ρcosθ=0$，
∴曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程為$\frac{1}{4}y-\frac{\sqrt{3}}{4}x=0$，即y=$\sqrt{3}x$．
（Ⅱ）∵曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），點(diǎn)N為曲線(xiàn)C₂上動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)N（cosθ-2，sinθ），
點(diǎn)N（cosθ-2，sinθ）到曲線(xiàn)C₁：y=$\sqrt{3}x$距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2\sqrt{3}-sinθ|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{2π}{3}）-2\sqrt{3}|}{2}$=|sin（$θ+\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$|，
∴$sin（θ+\frac{2π}{3}）=1$時(shí)，d取最小值$\sqrt{3}-1$．
點(diǎn)M（4，$\frac{3π}{2}$）的直角坐標(biāo)為A（0，-4），
∵曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∴曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程為（x+2）²+y²=1，由圓心為C₂（-2，0），半徑r=1的圓，
∵|MC₂|=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$＞r=1，∴點(diǎn)M在圓C₂外．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)到曲線(xiàn)距離的最小值的求法，考查點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用．