Question

10．在平面直角坐標系xoy中，以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為（4，$\frac{3π}{2}$），若點M落在曲線C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），點N為曲線C₂上動點．
（I）求曲線C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）記點N到曲線C₁的距離為d，求d的最小值并判斷點M與曲線C₂的位置關系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（4，$\frac{3π}{2}$）落在曲線C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，先求出a，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出曲線C₁的直角坐標方程．
（Ⅱ）設N（cosθ-2，sinθ），求出點N到曲線C₁距離d，利用三角函數性質能求出d的最小值，求出點M直角坐標和曲線C₂的直角坐標方程，由此能判斷點M與圓C₂的位置關系．

解答 解：（Ⅰ）∵M的極坐標為（4，$\frac{3π}{2}$），點M落在曲線C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，
∴a=4cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{6}$）=-4sin$\frac{π}{6}$=-2，
∴曲線C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=-2，
∴$\frac{1}{4}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{4}ρcosθ=0$，
∴曲線C₁的直角坐標方程為$\frac{1}{4}y-\frac{\sqrt{3}}{4}x=0$，即y=$\sqrt{3}x$．
（Ⅱ）∵曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），點N為曲線C₂上動點，
∴設N（cosθ-2，sinθ），
點N（cosθ-2，sinθ）到曲線C₁：y=$\sqrt{3}x$距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2\sqrt{3}-sinθ|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{2π}{3}）-2\sqrt{3}|}{2}$=|sin（$θ+\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$|，
∴$sin（θ+\frac{2π}{3}）=1$時，d取最小值$\sqrt{3}-1$．
點M（4，$\frac{3π}{2}$）的直角坐標為A（0，-4），
∵曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），
∴曲線C₂的直角坐標方程為（x+2）²+y²=1，由圓心為C₂（-2，0），半徑r=1的圓，
∵|MC₂|=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$＞r=1，∴點M在圓C₂外．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查點到曲線距離的最小值的求法，考查點與曲線的位置關系的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．