Question

6．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外一點O，有$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OC}$．求證：P、A、B、C四點共面．

Answer 1

分析 可假設(shè)這四點共面，則有$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，如果能求出λ，μ便說明假設(shè)正確，從而根據(jù)條件求出λ，μ，便得出P，A，B，C四點共面．

解答 證明：若P、A、B、C四點共面，∵A，B，C三點不共線；
∴存在實數(shù)λ，μ，使$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+μ（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（1+λ+μ）\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}-μ\overrightarrow{OC}$；
根據(jù)空間向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{1+λ+μ=\frac{2}{5}}\\{-λ=\frac{1}{5}}\\{-μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$；
解得$λ=-\frac{1}{5}，μ=-\frac{2}{5}$；
∴P，A，B，C四點共面．

點評 考查平面向量基本定理，以及空間向量基本定理，通過假設(shè)結(jié)論成立，然后找出使結(jié)論成立的條件即可．