Question

2．已知互不相等的三個正實數a，b，c成等比數列，且log_ca，log_bc，log_ab構成公差為d的等差數列，則此公差d=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知可得：b²=ac，2log_bc=log_ab+log_ca，把b=$\sqrt{ac}$，代入$\frac{2lgc}{lgb}$=$\frac{lgb}{lga}$+$\frac{lga}{lgc}$，可得：$2（\frac{lga}{lgc}）^{2}$+5$\frac{lga}{lgc}$-1=0，令$\frac{lga}{lgc}$=t，則2t²+5t-1=0，即t²=$\frac{1-5t}{2}$．于是公差d=log_bc-log_ca=$\frac{lgc}{lgb}-\frac{lga}{lgc}$=$\frac{2lgc}{lga+lgc}$-$\frac{lga}{lgc}$=$\frac{2}{t+1}-t$，化簡代入即可得出．

解答 解：∵互不相等的三個正實數a，b，c成等比數列，且log_ca，log_bc，log_ab構成公差為d的等差數列，
∴b²=ac，2log_bc=log_ab+log_ca，
∴b=$\sqrt{ac}$，代入$\frac{2lgc}{lgb}$=$\frac{lgb}{lga}$+$\frac{lga}{lgc}$，化為：$（\frac{lga}{lgc}-1）$$[2（\frac{lga}{lgc}）^{2}+5\frac{lga}{lgc}-1]$=0，
∴$2（\frac{lga}{lgc}）^{2}$+5$\frac{lga}{lgc}$-1=0，
令$\frac{lga}{lgc}$=t，則2t²+5t-1=0，∴t²=$\frac{1-5t}{2}$．
∴公差d=log_bc-log_ca=$\frac{lgc}{lgb}-\frac{lga}{lgc}$=$\frac{2lgc}{lga+lgc}$-$\frac{lga}{lgc}$=$\frac{2}{t+1}-t$=$\frac{2-{t}^{2}-t}{t+1}$=$\frac{2-t-\frac{1-5t}{2}}{t+1}$=$\frac{3（t+1）}{2（t+1）}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質、對數的運算性質、“換元法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．