Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖像在處的切線方程與的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）.

【解析】

（1）求，從而求得切線的斜率，即可求得切線方程，令及，分別求得函數(shù)的增、減區(qū)間。

（2）把與的大小問題轉(zhuǎn)化成：與的大小問題來解決，令，利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的單調(diào)性，從而求出該函數(shù)的最大值，即可判斷兩個數(shù)的大小。

解：（1）∵，∴，

∴，，所以所求切線方程為，

即.

令，解得，，解得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）∵，

∴與的大小關(guān)系等價于與的大小關(guān)系，

令，則，

∵在上單調(diào)遞減，且有，，

∴，使，即有，

即當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即，

又由，可得，，

，

∵，∴，即，

∴，即.