Question

7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是A₁D₁，A₁A的中點．
（1）求證：BC₁∥平面CEF；
（2）在棱A₁B₁上是否存在點G，使得EG⊥CE？若存在，求A₁G的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD₁，則FE∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面CEF．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在棱A₁B₁上存在點G，使得EG⊥CE，且A₁G=$\frac{1}{4}$．

解答 證明：（1）連結(jié)AD₁，則BC₁∥AD₁，AD₁∥FE，
∴FE∥BC₁，
∵FE?面CEF，BC₁?面CFE，
∴BC₁∥平面CEF．
解：（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
假設(shè)棱A₁B₁上是存在點G，使得EG⊥CE，設(shè)A₁G=λ（0≤λ≤1），
則G（1，λ，1），E（$\frac{1}{2}$，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{EG}$=（$\frac{1}{2}，λ，0$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，-1，1$），
∵EG⊥CE，∴$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-λ=0$，
解得λ=$\frac{1}{4}$．
∴在棱A₁B₁上存在點G，使得EG⊥CE，且A₁G=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查使得兩線段垂直的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．