Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長線于點(diǎn)F．求證．
（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連結(jié)AD，由已知條件結(jié)合圓的性質(zhì)推導(dǎo)出A、D、E、F四點(diǎn)共圓，由此能證明∠DEA=∠DFA．
（Ⅱ）由A、D、E、F四點(diǎn)共圓，連結(jié)BC，能推導(dǎo)出△ABC∽△AEF，由此能證明AB²=BE•BD-AE•AC．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)AD，∵AB為圓的直徑，∴∠ADB=90°，
又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，
∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，
∴∠DEA=∠DFA．
（Ⅱ）∵A、D、E、F四點(diǎn)共圓，
∴由切割線定理知BD•BE=BA•BF，
連結(jié)BC，則△ABC∽△AEF，
∴

AB

AE

=

AC

AF

，
∴AB•AF=AE•AC，
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF
=AB（BF-AF）=AB²．
∴AB²=BE•BD-AE•AC．

點(diǎn)評：本題考查兩個角相等的證明，考查圓的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時要注意四點(diǎn)共圓的證明及應(yīng)用．