Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，曲線犆的方程為ρ=4cosθ．
（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（2+2cosα，2sinα），$B（5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$，求|AB|的最小值．（其中α?t為參數(shù)）

Answer 1

分析 （1）由方程$\left\{\begin{array}{l}x=5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$消去t得直線l的普通方程，由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$代入可得可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）由A（2+2cosα，2sinα），B$（5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$知點(diǎn)A的軌跡是曲線C，點(diǎn)B軌跡是直線l．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心C到直線l的距離d，利用|AB|_min=d-r即可得出．

解答 解：（1）由方程$\left\{\begin{array}{l}x=5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$消去t得直線l的普通方程為$x+y-5\sqrt{2}-2=0$，
由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，化為（x-2）²+y²=4．
（2）由A（2+2cosα，2sinα），B$（5\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）$知點(diǎn)A的軌跡是曲線C，點(diǎn)B軌跡是直線l．
圓心C（2，0）到直線l的距離d=$\frac{|2-5\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=5，
∴|AB|_min=d-r=5-2=3．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．