Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是其一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)在橢圓上．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)的動(dòng)直線交橢圓于點(diǎn)，交軌跡于兩點(diǎn)，設(shè)為的面積，為的面積，令的面積，令，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）動(dòng)圓圓心滿足拋物線的定義：，所以方程為，而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，利用待定系數(shù)法：（2）先表示面積：拋物線中三角形面積，利用焦點(diǎn)，底邊OF為常數(shù)，高為橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，再根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解；橢圓中三角形面積，利用A點(diǎn)為定點(diǎn)，底邊AF為常數(shù)，高為橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解；研究函數(shù)關(guān)系式：是一元函數(shù)，可根據(jù)直線斜率k取值范圍求解

試題解析：（1）依題意，由拋物線的定義易得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

顯然有，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）顯然直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的直線方程為：①

聯(lián)立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有，

設(shè)則有，

再將①式聯(lián)立拋物線方程，有，設(shè)得，∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，又，∴