Question

【題目】四棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在棱上，，底面是梯形，，且．

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與所成角為60°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明面面垂直平面平面，就是要證線面垂直平面，其實(shí)質(zhì)還是應(yīng)用線面垂直判定與性質(zhì)定理，經(jīng)多次轉(zhuǎn)化給予論證：先由射影定義得底面，因而有，再由，轉(zhuǎn)化為平面（2）利用空間向量求二面角，先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，由直線與所成角為60°，利用向量數(shù)量積確定各點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)方程組求各面法向量，利用向量數(shù)量積求兩法向量夾角，進(jìn)而由二面角與兩法向量關(guān)系確定二面角的余弦值.

試題解析：（1）∵平面平面，∴

∵平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）

以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵平面，

∴軸，

則，設(shè)，

∴，∴，

∵，∴，

∵與所成角為60°，

∴，

∴，∴，

∵，∴，∵，∴，∴

∴，設(shè)平面的法向量為，

由，得平面的一個(gè)法向量為

設(shè)平面的法向量為，

由，得平面的一個(gè)法向量為

∴，

∵二面角的平面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為