Question

9．如圖1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖2）
（1）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值．
（2）當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，是否有BD⊥EG，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直性質(zhì)定理證出AE⊥面EBCF，求出以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得當(dāng)x=2時(shí)，即AE=2時(shí)函數(shù)有最大值；
（2）作DH⊥EF于H，連BH，GH．由面面垂直性質(zhì)定理，證出DH⊥平面EBCF，從而得到EG⊥DH．由正方形BGHE中，EG⊥BH且BH∩DH=H，可得EG⊥平面DBH，從而證出BD⊥EG；

解答 解：（1）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF
∴AE⊥面EBCF
由題意可得$f（x）=\frac{1}{3}{S}_{△BFC}•AE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4•（4-x）•x=\frac{1}{3}（-2{x}^{2}+8x），0＜x＜4$
所以當(dāng)$x=2時(shí)，f（x）最大為\frac{8}{3}$
（2）證明：作DH⊥EF，交EF于H，連結(jié)BH，HG，
因?yàn)槊鍭EFD⊥面EBCF，所以DH⊥面BECF．
又EG?面BEFC，所以DH⊥EG，
又x=2時(shí)，BE=EH=BG=2．
故四邊形BEHG為正方形．
所以BH⊥EG，所以EG⊥面BHD．
又因BD?面BHD，所以BD⊥EG．

點(diǎn)評(píng) 本題給出平面圖形的翻折問題，在所得幾何體中證明線線垂直并求三棱錐體積的最大值，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)、錐體體積和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．