Question

4．根據(jù)國(guó)家考試院的規(guī)定，各省自主命題逐步過渡到全國(guó)統(tǒng)一命題，2016年已經(jīng)有25個(gè)省、直轄市參與全國(guó)統(tǒng)一命題．每年根據(jù)考試院出具兩套試題，即全國(guó)高考新課標(biāo)卷Ⅰ和全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ．已知各省選擇全國(guó)高考新課標(biāo)卷Ⅰ和全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ是等可能的，也是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）在四川省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ的條件下，求四川省在內(nèi)的三個(gè)省中恰有兩個(gè)省在2016年選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II的概率．
（Ⅱ）假設(shè)四川省在選擇時(shí)排在第四位，用X表示四川省在選擇選擇全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ前，前三個(gè)省選擇選擇全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ的省的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)四川省在內(nèi)的三個(gè)省為A，B，S，四川省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II表示為S₂，另兩省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷i表示為A_i，B_i（i=1，2），在四川省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II的條件下，所有可能的有S₂A₁B₁，S₂A₂B₁，S₂A₁B₂，S₂A₂B₂四個(gè)基本事件，其中恰有兩個(gè)省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II有兩個(gè)基本事件，利用條件概率計(jì)算公式即可得出；
（II）由題意，每個(gè)省選擇全國(guó)高考新課標(biāo)卷 I和全國(guó)新課標(biāo)卷 II的概率都是$\frac{1}{2}$，四川省在選擇選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II前，前三個(gè)省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II的省份個(gè)數(shù)為X，則$X～B（3，\frac{1}{2}）$，即可得出分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）設(shè)四川省在內(nèi)的三個(gè)省為A，B，S，四川省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II表示為S₂，另兩省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷i表示為A_i，B_i（i=1，2），在四川省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II的條件下，所有可能的有S₂A₁B₁，S₂A₂B₁，S₂A₁B₂，S₂A₂B₂四個(gè)基本事件，其中恰有兩個(gè)省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II有兩個(gè)基本事件，設(shè)“四川省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II的條件下，四川省在內(nèi)的三個(gè)省中恰有兩個(gè)省在2016年選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II”為事件M，∴$P（M）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．
（II）由題意，每個(gè)省選擇全國(guó)高考新課標(biāo)卷 I和全國(guó)新課標(biāo)卷 II的概率都是$\frac{1}{2}$，四川省在選擇選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II前，前三個(gè)省選擇全國(guó)新課標(biāo)卷 II的省份個(gè)數(shù)為X，則$X～B（3，\frac{1}{2}）$，
∴X=0，1，2，3，$P（X=0）={（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，$P（X=1）=C_3^1{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{3}{8}$，$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{3}{8}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴$EX=0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了條件概率計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．