Question

16．已知拋物線C：y=-x²+4x-3．
（1）求拋物線C在點(diǎn)A（0，-3）和點(diǎn)B（3，0）處的切線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求拋物線C與它在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合點(diǎn)A（0，-3）和點(diǎn)B（3，0）都在拋物線上，即可求出切線的方程，可得結(jié)論；
（2）可得直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)和兩切線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定積分在求面積中的應(yīng)用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答 解：（1）因?yàn)閥=-x²+4x-3，所以y′=-2x+4，
所以x=0時(shí)，y′=4；x=3時(shí)，y′=-2；
所以拋物線C在點(diǎn)A（0，-3）的切線方程為y=4x-3，在點(diǎn)B（3，0）處的切線的方程為y=-2x+6，
所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，3）；
（2）S=S_△ABM-${∫}_{0}^{3}[（-{x}^{2}+4x-3）-（x-3）]dx$=$\frac{27}{4}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{4}$，
即拋物線C與它在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線所圍成的圖形的面積為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．