Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P（3，t）到其焦點(diǎn)的距離為4．
（1）求p的值；
（2）過點(diǎn)Q（1，0）作兩條直線l₁，l₂與拋物線分別交于點(diǎn)A、B和C、D，點(diǎn)M，N分別是線段AB和CD的中點(diǎn)，設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，若k₁+k₂=3，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義，可得p=2；
（2）不妨設(shè)AB的斜率k₁=k，求出CD的斜率k₂=3-k，利用點(diǎn)斜式方程求出直線AB、CD的方程，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得中點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式方程求出直線MN的方程，化簡后求出直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得，3+$\frac{p}{2}$=4，解得p=2；
（2）證明：由題意知，k₁+k₂=3，
不妨設(shè)AB的斜率k₁=k，則CD的斜率k₂=3-k，
所以AB的直線方程是：y=k（x-1），CD的直線方程是y=（3-k）（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$，
因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
同理可得，點(diǎn)N（1+$\frac{2}{（3-k）^{2}}$，$\frac{2}{3-k}$），
所以直線MN的方程是：y-$\frac{2}{k}$=$\frac{\frac{2}{k}-\frac{2}{3-k}}{\frac{2}{{k}^{2}}-\frac{2}{（3-k）^{2}}}$（x-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$），
化簡得，y=（k-k²）（x-1）+$\frac{2}{3}$，令x=1，得y=$\frac{2}{3}$，
所以直線MN過定點(diǎn)（1，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．