(本小題滿分12分)
已知拋物線C1:y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C2:的右焦點(diǎn)F2重合,F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn);
(Ⅰ)在ABC中,若A(-4,0),B(0,-3),點(diǎn)C在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng),求ABC重心G的軌跡方程;
(Ⅱ)若P是拋物線C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn),且∠PF1F2=,∠PF2F1=,求cos的值及PF1F2的面積。
(Ⅰ) (y+1)2=.(Ⅱ) .
解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)重心G(x,y),則 整理得………2分
將(*)式代入y2=4x中,得(y+1)2= ∴重心G的軌跡方程為(y+1)2=.………4分
(Ⅱ) ∵橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),由y2=4x得F2(1,0),∴b2=8,橢圓方程為.………6分
設(shè)P(x1,y1) 由得,∴x1=,x1=-6(舍).
∵x=-1是y2=4x的準(zhǔn)線,即拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1。
設(shè)點(diǎn)P到拋物線y2=4x的準(zhǔn)線的距離為PN,則︱PF2︱=︱PN︱.
又︱PN︱=x1+1=,
∴.………………………8分
過點(diǎn)P作PP1⊥x軸,垂足為P1,在Rt△PP1F1中,cosα=在Rt△PP1F2中,cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=!10分
∵x1=,∴∣PP1∣=,∴.………………………12分
考點(diǎn):本題考查了軌跡方程的求法及直線與拋物線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):此類問題利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它,那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解,就得到原動(dòng)點(diǎn)的軌跡
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
Δ兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,邊所在直線的斜率之積等于,求頂點(diǎn)的軌跡方程,并畫出草圖。
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(本小題滿分13分)
已知橢圓:的右焦點(diǎn)為F,離心率,橢圓C上的點(diǎn)到F的距離的最大值為,直線l過點(diǎn)F與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若,求直線l的方程.
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(本題滿分12分)如圖,橢圓C方程為 (),點(diǎn)為橢圓C的左、右頂點(diǎn)。
(1)若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3,最小值為1,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與(1)中所述橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右頂點(diǎn)),且滿足,求證:直線過定點(diǎn),并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。
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(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,離心率e=,過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形,求滿足該條件的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D,橢圓的右頂點(diǎn)為,點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線,與直線分別交于兩點(diǎn)。
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí),在橢圓上是否存在這
樣的點(diǎn),使得的面積為?若存在,確定點(diǎn)的個(gè)數(shù),若不存在,說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;
(Ⅱ)是否存在、的值,使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的、的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)是其左頂點(diǎn),點(diǎn)C在橢圓上且·="0," ||=||.(點(diǎn)C在x軸上方)
(I)求橢圓的方程;
(II)若平行于CO的直線和橢圓交于M,N兩個(gè)不同點(diǎn),求面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
雙曲線與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過點(diǎn),橢圓以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的最短距離為,求雙曲線和橢圓的方程。
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