Question

14．已知雙曲線Γ：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的上焦點為F₁（0，c）（c＞0），下焦點為F₂（0，-c）（c＞0），過點F₁作圓x²+y²-$\frac{2c}{3}y+\frac{a^2}{9}$=0的切線與圓相切于點D，與雙曲線下支交于點M，若MF₂⊥MF₁，則雙曲線Γ的漸進(jìn)線方程為（　�。�

• A． 4x±y=0
• B． x±4y=0
• C． 2x±y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，設(shè)出D的坐標(biāo)，由題意列式求出D的坐標(biāo)，結(jié)|MF|=3|DF|，求得M的坐標(biāo)，再把M的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得答案．

解答 解：由x²+y²-$\frac{2c}{3}y+\frac{a^2}{9}$=0，得x²+（y-$\frac{c}{3}$）²=$\frac{^{2}}{9}$，
則該圓的圓心坐標(biāo)為（0，$\frac{c}{3}$），半徑為$\frac{3}$．
設(shè)切點D（x₀，y₀）（y₀＞0），
則x²+y²-$\frac{2c}{3}y+\frac{a^2}{9}$=0與（x₀，y₀-c）•（x₀，y₀-$\frac{c}{3}$）=0，
解得：x₀=$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，y₀=$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$．
∴D（$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$），
由題意得D是MF₁的中點，得M（2×$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，2×$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$-c），
代入 雙曲線Γ：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$整理得b=4a，∴雙曲線Г的漸近線方程為x±4y=0．
故選：B．

點評 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線間的關(guān)系，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．