Question

已知函數(shù)f（x）=2acos²x+bsinxcosx-

3

2

，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先根據(jù)已知條件列方程組求得a，b進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，利用兩角和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用周期公式求得答案．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）依題意

f(0)=2a- 3 2 = 3 2 f( π 4 )=a+ b 2 - 3 2 = 1 2

，求得a=

3

2

，b=1，
∴f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）由2kπ-

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．求得函數(shù)的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．