Question

6．過點(diǎn)P（1，3）的動直線與拋物線y=x²交于A，B兩點(diǎn)，在A，B兩點(diǎn)處的切線分別為l₁、l₂，若l₁和l₂交于點(diǎn)Q，則圓x²+（y-2）²=4上的點(diǎn)與動點(diǎn)Q距離的最小值為$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 設(shè)動直線的方程為：y-3=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為：x²-kx+k-3=0．對y=x²求導(dǎo)，y′=2x，可得切線l₁、l₂的方程分別為：y-y₁=2x₁（x-x₁），y-y₂=2x₂（x-x₂）．化為：y=2x₁x-${x}_{1}^{2}$，y=2x₂x-${x}_{2}^{2}$，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：Q$（\frac{k}{2}，k-3）$，其軌跡方程為：y=2x-3．圓x²+（y-2）²=4的圓心C（0，2）．求出圓心C到直線的距離d．即可得出圓x²+（y-2）²=4上的點(diǎn)與動點(diǎn)Q距離的最小值為 d-r．

解答 解：設(shè)動直線的方程為：y-3=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-1）}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，化為：x²-kx+k-3=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=k-3．
對y=x²求導(dǎo)，y′=2x，
切線l₁、l₂的方程分別為：y-y₁=2x₁（x-x₁），y-y₂=2x₂（x-x₂）．
化為：y=2x₁x-${x}_{1}^{2}$，y=2x₂x-${x}_{2}^{2}$，
相減可得：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{2}$，
相加可得：y=（x₁+x₂）x-$\frac{1}{2}$[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂]=$\frac{1}{2}{k}^{2}$-$\frac{1}{2}[{k}^{2}-2（k-3）]$=k-3．
解得Q$（\frac{k}{2}，k-3）$，其軌跡方程為：y=2x-3．
圓x²+（y-2）²=4的圓心C（0，2）．
圓心C到直線的距離d=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$＞2=r．
∴圓x²+（y-2）²=4上的點(diǎn)與動點(diǎn)Q距離的最小值為 $\sqrt{5}$-2．
故答案為：$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究直線與拋物線相切切線斜率、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．