Question

11．如圖正四面體（所有棱長都相等）D-ABC中，動點(diǎn)P在平面BCD上，且滿足∠PAD=30°，若點(diǎn)P在平面ABC上的射影為P′，則sin∠P′AB的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：當(dāng)點(diǎn)P取線段CD的中點(diǎn)時，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，可得點(diǎn)O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點(diǎn)M，CM⊥AB．經(jīng)過點(diǎn)P作PP′⊥CO，垂足為點(diǎn)P′，則PP′⊥平面ABC，點(diǎn)P′為點(diǎn)P在平面ABC的射影，則點(diǎn)P′為CO的中點(diǎn)．進(jìn)而得出答案．

解答 解：由題意可知：當(dāng)點(diǎn)P取線段CD的中點(diǎn)時，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．
過D作DO⊥平面ABC，則點(diǎn)O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點(diǎn)M，CM⊥AB．經(jīng)過點(diǎn)P作PP′⊥CO，垂足為點(diǎn)P′，則PP′⊥平面ABC，點(diǎn)P′為點(diǎn)P在平面ABC的射影，則點(diǎn)P′為CO的中點(diǎn)．
不妨取AB=2，則MP′=$\frac{2}{3}×\sqrt{3}$，∴AP′=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
sin∠P′AM=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了正四面體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、空間角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．