Question

11．如圖正四面體（所有棱長都相等）D-ABC中，動點P在平面BCD上，且滿足∠PAD=30°，若點P在平面ABC上的射影為P′，則sin∠P′AB的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：當點P取線段CD的中點時，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，可得點O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點M，CM⊥AB．經過點P作PP′⊥CO，垂足為點P′，則PP′⊥平面ABC，點P′為點P在平面ABC的射影，則點P′為CO的中點．進而得出答案．

解答 解：由題意可知：當點P取線段CD的中點時，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．
過D作DO⊥平面ABC，則點O是等邊三角形的中心，連接CO延長與AB相交于點M，CM⊥AB．經過點P作PP′⊥CO，垂足為點P′，則PP′⊥平面ABC，點P′為點P在平面ABC的射影，則點P′為CO的中點．
不妨取AB=2，則MP′=$\frac{2}{3}×\sqrt{3}$，∴AP′=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
sin∠P′AM=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故選：A．

點評 本題考查了正四面體的性質、線面垂直的判定與性質定理、等邊三角形的性質、空間角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．