Question

【題目】已知等軸雙曲線：的右焦點為，為坐標(biāo)原點，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.

（1）假設(shè)過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點，求的值；

（2）假設(shè)過點的動直線與雙曲線交于、兩點，試問：在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據(jù)點為過作一條漸近線的垂線的垂足，以及，可求出雙曲線中的值，借助雙曲線中，，的關(guān)系，得到雙曲線方程．根據(jù)直線的方向向量以及點的坐標(biāo)，可得直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出，的值，代入中，即可求出的值．

（2）先假設(shè)存在定點，使得為常數(shù)，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解，，用含的式子表示，再代入中，若為常數(shù)，則結(jié)果與無關(guān)，求此時的值即可．

（1）設(shè)右焦點坐標(biāo)為，，

雙曲線為等軸雙曲線，則漸近線為，

由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且．

為等腰直角三角形，則由

又等軸雙曲線中，

等軸雙曲線的方程為：.

設(shè)，，，為雙曲線與直線的兩個交點，

，直線的方向向量為，

直線的方程為，即

代入雙曲線的方程，可得，

，，

而

（2）假設(shè)存在定點，使得為常數(shù)，

其中，，，，為雙曲線與直線的兩個交點的坐標(biāo)，

①當(dāng)直線與軸不垂直是，設(shè)直線的方程為，

代入雙曲線的方程，可得，

由題意可知，，則有，，

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時，.

②當(dāng)直線與軸垂直時，可得點，，

若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)．