Question

2．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點(diǎn)，則直線ME與平面ABCD所成角的正切值為$\sqrt{2}$；異面直線EM與AF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{30}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨取AD=2．取平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．設(shè)直線ME與平面ABCD所成角為θ．$cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{n}|}$，sinθ=|$cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}＞$|，即可tanθ．cos$＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AF}|}$．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨取AD=2．
∴D（0，0，0），A（0，-2，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），P（0，0，2），Q（0，-2，2），M（0，-1，2），E（1，-2，0），F(xiàn)（2，-1，0）．$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0）．
$\overrightarrow{EM}$=（-1，1，2），取平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
設(shè)直線ME與平面ABCD所成角為θ．
∴$cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}×1}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴tanθ=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$．
cos$＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞$=$\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{30}}{30}$．
∴異面直線EM與AF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{30}$．
故答案為：$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{30}}{30}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、向量夾角公式、正方形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．