Question

9．求函數(shù)y=$\frac{{2x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+x+1}$的值域．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，然后將分式轉(zhuǎn)化為整式，利用判別式法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵分母x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，
由y=$\frac{{2x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+x+1}$得（x²+x+1）y=2x²+x+1，
即（y-2）x²+（y-1）x+y-1=0，
當(dāng)y=2時(shí)，方程等價(jià)為x+1=0，即x=-1有解，即y=2成立，
當(dāng)y≠2時(shí)，判別式△=（y-1）²-4（y-2）（y-1）=（y-1）（-3y+7）≥0，
得1≤y≤$\frac{7}{3}$且y≠2，
綜上1≤y≤$\frac{7}{3}$，
即函數(shù)的值域?yàn)閇1，$\frac{7}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，先判斷函數(shù)的定義域，利用判別式法是解決本題的關(guān)鍵．