Question

9．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n；
（2）令b_n=log₂a_n²，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得q=2，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式計(jì)算即可得到所求；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得b_n=2n，再由等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=2，a₄=16，可得a₄=a₁q³，
即為2q³=16，解得q=2，
a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（2）b_n=log₂a_n²，=log₂2²ⁿ=2n，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n²+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．