Question

16．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，-2）．
（1）求拋物線C的方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，-2）代入拋物線C：y²=2px（p＞0），解得p即可得出．
（2）直線OA的方程為：y=-2x．假設(shè)存在平行于OA的直線l滿足條件，其方程為y=-2x+t，聯(lián)立化為y²+2y-2t=0，由于直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，可得△≥0，解得t$≥-\frac{1}{2}$．直線OA與直線l的距離：d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得t，并進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，-2）代入拋物線C：y²=2px（p＞0），可得（-2）²=2p×1，解得p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）．
（2）直線OA的方程為：y=-2x．
假設(shè)存在平行于OA的直線l滿足條件，其方程為y=-2x+t，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為y²+2y-2t=0，
∵直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，
∴△≥0，∴4+8t≥0，解得t$≥-\frac{1}{2}$．
直線OA與直線l的距離：d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得t=±2．
∵-2∉$[-\frac{1}{2}，+∞）$，2∈$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
因此符合條件的方程存在為：y=-2+2．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△≥0、平行線之間的距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．