Question

2．集合M={（x，y）|y²=2x}，N={（x，y）|（x-a）²+y²=1}，若M∩N≠∅，求a的范圍．某同學解法如下：聯立方程得（x-a）²+2x=1，△≥0，解之a≤1，該同學解法是否正確．

Answer 1

分析 根據y²=2x≥0，便知方程（x-a）²+2x=1有解，且至少有一個非負根，從而看出該同學的解法錯誤．至少有一個非負根的反面便是方程有兩個負根，首先方程有解，便有△≥0，可得到a≤1，而方程有兩個負根時可根據韋達定理得到$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{2（a-1）＜0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，可得到a＜-1，這樣將a≤1的范圍中去掉a＜-1部分便得到要求的a的范圍．

解答 解：該同學解法不正確，需再滿足方程（x-a）²+2x=1至少有一個非負根；
方程可整理成：x²+2（1-a）x+a²-1=0；
根據該方程有解得：△=4（1-a）²-4（a²-1）≥0；
解得a≤1；
兩根都為負根時，滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{2（a-1）＜0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$；
解得a＜-1；
∴方程至少有一個非負根時a滿足-1≤a≤1；
∴a的范圍為[-1，1]．

點評 考查描述法表示集合，空集、交集的概念，曲線的交點情況和對應方程形成方程組解的關系，一元二次方程有解時判別式△的取值情況，以及韋達定理，對于一元二次方程有解時兩根的取值情況要清楚．