Question

10．二次函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），又f（2）=1，f（0）=3，若f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，則m的取值范圍是（　　）

• A． 2≤m≤4
• B． 0＜m≤2
• C． m＞0
• D． m≥2

Answer 1

分析 由題意，二次函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），對(duì)稱軸是x=2，可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x-2）²+b，又f（0）=3，f（2）=1，由此得到關(guān)于兩個(gè)參數(shù)a，b的方程組，解出a，b的值，求得二次函數(shù)的解析式；若f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，求出1，3對(duì)應(yīng)的自變量，再由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出參數(shù)的取值范圍

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
∴其對(duì)稱軸是x=2，
可設(shè)其方程為y=a（x-2）²+b
∵f（0）=3，f（2）=1
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=1
函數(shù)f（x）的解析式是y=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1
∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，
∴m≥2
又f（4）=3，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，m≤4
綜上得2≤m≤4
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，及熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷出參數(shù)的取值范圍，本題是二次函數(shù)考查的典型題．