Question

10．已知{a_n}是正項(xiàng)等差數(shù)列，{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=3，a₂•a₃=S₅．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=3，a₂•a₃=S₅．
∴（3+d）（3+2d）=$5×3+\frac{5×4}{2}d$，
解得d=2，或-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．