Question

1．設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，a²=bc．
（1）求角A的大��；
（2）名△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由題意和兩角和與差的三角函數(shù)公式可得sinBsinC=$\frac{3}{4}$，結合正弦定理可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得A=60°或120°，驗證排除A=120°即可；
（2）由余弦定理和已知可得b=c，再由面積公式可得bc=16，聯(lián)立可得bc的值，進而可得a值，相加可得周長．

解答 解：（1）∵cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）-cos（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cosBcosC+sinBsinC-cosBcosC+sinBsinC=$\frac{3}{2}$，
∴sinBsinC=$\frac{3}{4}$，又∵a²=bc，
∴由正弦定理可得sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=60°或120°，
若A=120°，則cos（B-C）+cosA=cos（B-C）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）=2，顯然矛盾，故A=60°；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
∵a²=bc，∴bc=b²+c²-bc，即（b-c）²=0，故b=c，
再由面積公式可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=4$\sqrt{3}$，故bc=16，
∴由b=c且bc=16可得b=c=4，
∴a²=bc=16，解得a=4，
∴△ABC的周長為4+4+4=12

點評 本題考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．