【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,點E、F分別在CD、AB上,且EF⊥CD,BE⊥BC,BC=1,CE=2.現將矩形ADEF沿EF折起,使平面ADEF與平面EFBC垂直(如圖2).
(1)求證:CD∥面ABF;
(2)當AF的長為何值時,二面角A﹣BC﹣F的大小為30°.
【答案】
(1)證明:∵CE∥BF,CE面ABF,BF面ABF,
∴CE∥面ABF,
又DE∥AF,DE面ABF,AF面ABF,
∴DE∥面ABF,
∵DE∩CE=E,且DE、CE面CDE,
∴面CDE∥面ABF,
又CD面CDE,∴CD∥面ABF.
(2)解:過F作CB的垂線,交CB的延長線于H點,連結AH,
∵面ADEF⊥面EFBC,AF⊥EF,
∴AF⊥面EFBC,CB面EFBC,
∴CB⊥AF,CB⊥面AF,
∴AH⊥CH,
∴∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角,
∴∠AHF=30°,
∵BC=1,CE=2,且BE⊥BC,∴∠BCE=60°,
在直線梯形EFBC中,BF=2﹣cos60°= ,
∴FH= = ,
在直角三角形AHF中,AF=FH .
【解析】(1)推導出CE∥面ABF,DE∥面ABF,由此能證明面CDE∥面ABF,從而CD∥面ABF.(2)過F作CB的垂線,交CB的延長線于H點,連結AH,推導出∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角,由此能求出AF的長.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.
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【題目】為了展示中華漢字的無窮魅力,傳遞傳統(tǒng)文化,提高學習熱情,某校開展《中國漢字聽寫大會》的活動.為響應學校號召,2(9)班組建了興趣班,根據甲、乙兩人近期8次成績畫出莖葉圖,如圖所示,甲的成績中有一個數的個位數字模糊,在莖葉圖中用表示.(把頻率當作概率).
(1)假設,現要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽,從統(tǒng)計學的角度,你認為派哪位學生參加比較合適?
(2)假設數字的取值是隨機的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率.
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【題目】已知函數f(x)=2x-P2-x,則下列結論正確的是( 。
A. ,為奇函數且為R上的減函數
B. ,為偶函數且為R上的減函數
C. ,為奇函數且為R上的增函數
D. ,為偶函數且為R上的增函數
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sin(A﹣B)+sinC= sinA.
(1)求角B的值;
(2)若b=2,求a2+c2的最大值,并求取得最大值時角A,C的值.
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【題目】某企業(yè)通過調查問卷(滿分50分)的形式對本企業(yè)900名員工的工作滿意度進行調查,并隨機抽取了其中30名員工(其中16名女員工,14名男員工)的得分,如下表:
女 | 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 |
男 | 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34 |
(Ⅰ)現求得這30名員工的平均得分為40.5分,若規(guī)定大于平均得分為“滿意”,否則為“不滿意”,請完成下列表格:
“滿意”的人數 | “不滿意”的人數 | 合計 | |
女 | 16 | ||
男 | 14 | ||
合計 | 30 |
(Ⅱ)根據上述表中數據,利用獨立性檢驗的方法判斷,能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關?
參考數據:
0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參考公式:
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【題目】給出下列四個命題中:
①命題“若x≥2且y≥3,則x+y≥5”為假命題.
②命題“若x2-4x+3=0,則x=3”的逆否命題為:“若x≠3,則x2-4x+3≠0”.
③“x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件
④關于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R,則m≤4.
其中所有正確命題的序號是______.
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【題目】已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若任意的a、b∈[-1,1],當a+b≠0時,總有.
(1)判斷函數f(x)在[-1,1]上的單調性,并證明你的結論;
(2)解不等式:;
(3)若f(x)≤m2-2pm+1對所有的x∈[-1,1]恒成立,其中p∈[-1,1](p是常數),試用常數p表示實數m的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0
(1)求C的大;
(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值時角A,B的值.
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