Question

17．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減的是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$
• C． f（x）=-|x+1|
• D． f（x）=$\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義即可判斷每個選項的正誤，從而得到正確選項．

解答 解：A．f（x）=sinx在[-1，1]上單調(diào)遞增；
B．f（x）=$ln\frac{2-x}{2+x}$，解$\frac{2-x}{2+x}＞0$得該函數(shù)的定義域為[-2，2]；
又f′（x）=$\frac{-4}{（2-x）（2+x）}＜0$；
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)；
又f（-x）=$ln\frac{2+x}{2-x}=-ln\frac{2-x}{2+x}$=-f（x）；
∴f（x）是奇函數(shù)；
∴該選項正確；
C．f（x）=-|x+1|，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時f（0）=0；
而這里f（0）=-1；
∴該函數(shù)不是奇函數(shù)；
D.$f（x）=\frac{1}{2}（{e}^{x}-{e}^{-x}）$，f（-1）=$\frac{1}{2}（\frac{1}{e}-e）＜\frac{1}{2}（e-\frac{1}{e}）=f（1）$；
∴該函數(shù)在[-1，1]上不是減函數(shù)．
故選B．

點評 考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時f（0）=0，減函數(shù)的定義．