Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），在等差數(shù)列{b_n}中，b₂=5，且公差d=2．使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＞60n成立的最小正整數(shù)n為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列項(xiàng)和和之間的關(guān)系，建立方程關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和Sn，即可解不等式．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，
兩式作差得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
當(dāng)n=1是，a₂=2S₁+1=2+1=3，滿足a₂=3a₁，
綜上恒有a_n+1=3a_n，
即數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，則a_n=3^n-1，
在等差數(shù)列{b_n}中，b₂=5，且公差d=2．
∴b_n=b₂+（n-2）d=5+2（n-2）=2n+1，
∵${a_n}•{b_n}=（{2n+1}）•{3^{n-1}}$
令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
則${T_n}=3×1+5×3+7×{3^2}+…+（{2n-1}）×{3^{n-2}}+（{2n+1}）×{3^{n-1}}$…①
則3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ…②
①-②得：$-2{T_n}=3×1+2（{3+{3^2}+…+{3^{n-1}}}）-（{2n+1}）×{3^n}$
∴T_n=n×3ⁿ＞60n，即3ⁿ＞60，
∵3³=27，3⁴=81，
∴n的最小正整數(shù)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．