Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM∥平面PCD；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，且DN=λDC，當(dāng)直線MN與平面PAB所成的角最大時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AM}$的坐標(biāo)，再求出平面平面PCD的一個(gè)法向量，即可證明AM∥平面PCD；
（Ⅱ）利用空間向量求出使直線MN與平面PAB所成的角最大時(shí)N的位置即可，得出λ的值．

解答 （Ⅰ）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2，0）
設(shè)平面PCD的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{-x-2y=0}\end{array}\right.$
令z=1，則x=2，y=-1，于是$\overrightarrow n=（2，-1，1）$
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=0$，∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow n$，
∴AM∥平面PCD                          …（6分）
（Ⅱ）解：由點(diǎn)N是線段CD上的一點(diǎn)，可設(shè)$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}=λ（1，2，0）$
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=（1，0，0）+λ（1，2，0）=（1+λ，2λ，0）$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=（1+λ，2λ，0）-（0，1，1）=（1+λ，2λ-1，-1）$
又面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）
設(shè)MN與平面PAB所成的角為θ
則$sinθ=|{\frac{（1+λ，2λ-1，-1）•（1，0，0）}{{\sqrt{{{（1+λ）}^2}+{{（2λ-1）}^2}+1}}}}|=|{\frac{1+λ}{{\sqrt{5{λ^2}-2λ+3}}}}|$=$|{\frac{1+λ}{{\sqrt{5{{（1+λ）}^2}-12（1+λ）+10}}}}|$=$|{\frac{1}{{\sqrt{5-\frac{12}{1+λ}+10{{（\frac{1}{1+λ}）}^2}}}}}|$=$|{\frac{1}{{\sqrt{10{{（\frac{1}{1+λ}-\frac{3}{5}）}^2}+\frac{7}{5}}}}}|$
∴$當(dāng)\frac{1}{1+λ}=\frac{3}{5}$ 時(shí)，即$5=3+3λ，λ=\frac{2}{3}$時(shí)，sinθ最大，
∴MN與平面PAB所成的角最大時(shí)$λ=\frac{2}{3}$                         …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用空間向量求證線面的平行關(guān)系，考查了利用空間向量求解直線與平面所成角，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，是中檔題．