Question

15．如圖，是一曲邊三角形地塊，其中曲邊AB是以A為頂點(diǎn)，AC為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的一部分，點(diǎn)B到邊AC的距離為2km，另外兩邊AC，BC的長(zhǎng)度分別為8km，2$\sqrt{5}$km．現(xiàn)欲在此地塊內(nèi)建一形狀為直角梯形DECF的科技園區(qū)．
（Ⅰ）求此曲邊三角形地塊的面積；
（Ⅱ）求科技園區(qū)面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以AC所在的直線為y軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出曲邊AB所在的拋物線方程，利用積分計(jì)算曲邊三角形ABC地塊的面積；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)D為（x，x²），表示出|DF|、|DE|與|CF|的長(zhǎng)，求出直角梯形CEDF的面積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出它的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）以AC所在的直線為y軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示；

則A（0，0），C（0，8），
設(shè)曲邊AB所在的拋物線方程為y=ax²（a＞0），
則點(diǎn)B（2，4a），
又|BC|=$\sqrt{{（4a-8）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得a=1或a=3（此時(shí)4a=12＞8，不合題意，舍去）；
∴拋物線方程為y=x²，x∈[0，2]；
又${∫}_{0}^{2}$x²=$\frac{1}{3}$x³${|}_{0}^{2}$=$\frac{8}{3}$，
∴此曲邊三角形ABC地塊的面積為
S_梯形ACBM-${∫}_{0}^{2}$x²=$\frac{1}{2}$×（8+4）×2-$\frac{8}{3}$=$\frac{28}{3}$；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D（x，x²），則F（0，x²），
直線BC的方程為：2x+y-8=0，
∴E（x，8-2x），
|DF|=x，|DE|=8-2x-x²，|CF|=8-x²，
直角梯形CEDF的面積為
S（x）=$\frac{1}{2}$x[（8-2x-x²）+（8-x²）]=-x³-x²+8x，x∈（0，2），
求導(dǎo)得S′（x）=-3x²-2x+8，
令S′（x）=0，解得x=$\frac{4}{3}$或x=-2（不合題意，舍去）；
當(dāng)x∈（0，$\frac{4}{3}$）時(shí)，S（x）單調(diào)遞增，
x∈（$\frac{4}{3}$，2）時(shí)，S（x）單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{4}{3}$時(shí)，S（x）取得最大值是
S（$\frac{4}{3}$）=-${（\frac{4}{3}）}^{3}$-${（\frac{4}{3}）}^{2}$+8×$\frac{4}{3}$=$\frac{176}{27}$；
∴科技園區(qū)面積S的最大值為$\frac{176}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地建立直角坐標(biāo)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，是難題．